一股黏度达到水的20倍的硅油垂直落在水平面上。我们可以观察到圆形的水跃。（图片来源：Alexis Duchesne）
当水流流入水槽，我们很容易观察到，水流周围会形成一个圆环状结构——环形水跃。出人意料的是，500年来，这个看似简单的现象从未得到一个完整的解释。直到最近，科学家终于得以建立水跃现象的模型。更加令人惊讶的是，除了帮助理解其流体力学过程，环形水跃还能让我们更好地认识超新星爆发等天文学现象。
撰文 | 亚历克西·杜歇纳（Alexis Duchesne）
翻译 | 戚译引
你有没有试过在洗漱完毕之后，让水龙头再开一会儿？这当然不太环保，却能让你观察到一个有趣的现象：水流抵达水槽底部并扩散开来，在碰撞点周围形成一道薄薄的水膜。随后由于这种径向扩散，加上水与水槽表面之间的摩擦，水膜的扩散越来越慢。但出人意料的是，一种剧烈的转变发生了：当水膜很薄而且速度很大的时候，它的厚度将骤然增加500倍，速度也下降至1/500。水流的这种状态转变体现为一道“水墙”，即由液体构成的环形。这就是环形水跃现象。
即使我们很熟悉这一现象的存在，水跃的出现仍然令人惊奇，因为它违背了从亚里士多德到牛顿的一代代物理学家和哲学家的认知，而莱布尼茨甚至将这一认知提炼成一条公理，即“自然界无跳跃”（Natura non facit saltus）。这一原则又叫连续性原理，它假设事物通常以循序渐进的方式发展，十分符合直觉，而且往往是有价值的。但是在水槽里，我们看见的就是一个跳跃现象，而不是液面的连续抬升。
很长时间以来，这道水墙似乎没有过多地困扰那些学者。直到16世纪，莱昂纳多·达·芬奇（Léonard de Vinci）才第一次对水跃进行了描述。他在笔记中写道：“圆形水管流出的水垂直落到一个平坦的表面上，会在撞击点周围形成一道圆形的波纹；在圆圈内部，水的流动很快，在撞击点周围形成一道薄薄的水膜，然后一跃而起产生了浪，外部的水又试图回到撞击点。”
用现代的语言来说，达·芬奇所描述的水跃就像一道冲击波。在物理学家看来，这一现象源于流体扩散速度和重力波之间的竞争。重力波是在流体表面扩散的波纹，重力和流体的高度决定了波长和扩散速度。
在水跃的内部区域（靠近水流处），重力波扩散的速度小于流体扩散的速度，因此被水流带着向前传播；而在外部区域，水的高度增加，流速减缓，重力波扩散的速度大于流体的速度。受到外部扰动或反射，例如水流遇到水槽边沿的时候，重力波的影响变得可以忽略不计。因此，水跃被视为这样一个区域：从边缘地带（水槽边或水膜的终点）释放的重力波，即抬高流体的力量，再也无法回到峰值，因为重力波“遇到”了一股流速过高的流体，无法继续传播下去。
图片展示了水槽里的环形水跃
在500年后的今天，我们能不能断言水跃问题得到了解答？如今，仍然没有一个得到一致认可的模型，能够基于系统参数（流量、流体性质、液柱直径等）预测一些基本性质，例如水跃的半径。但是在这段时期，科学家们取得了一些重要的进展。我们对这种现象的发生机制和重要性有了更深刻的理解，水跃现象甚至成为了模拟其他一些现象的建模工具。
巨浪：环形水跃的“大哥”
在达·芬奇之后的300多年间，学者们似乎对环形水跃现象的机制不太感兴趣。我们没有发现相关的记载，直到19世纪，法国医师、物理学家菲利克斯·萨瓦尔（Félix Savart）才观察并描绘了这一现象，但他没有尝试进行深入的研究。学界对水跃重新产生兴趣，要归功于18世纪之后的大量关于巨浪的研究，这一现象算得上环形水跃的“大哥”。
这种类型的水跃现象广泛出现在江河中，其特征是水流中掀起一股或高或低的浪。这种浪潮将水流分成两个区域，一个是位于高处，水流湍急的区域，水的流速大于重力波传播的速度；另一个是低处的水流平静的区域，重力波传播的速度大于水流的速度，因此更容易将水流抬升到高处。
巨浪指的是水流中发生的水跃，例如法国圣帕尔东地区附近多尔多涅河谷中的浪。
当潮汐发生时，河口处水位的急剧变化就引发了巨浪。潮汐越是迅疾、强劲，浪也就越大。潮汐产生的重力波传播到高处，遇到湍急的水流，产生了冲击波。
通过改变地形和控制河流流量，我们可以调控巨浪的强度，甚至阻止其形成。如果说巨浪可以被视为移动的水跃，我们也能在自然界中观察到静态的水跃，例如瀑布落下，或是大坝泄洪的时候。
自从18世纪末起，工程师和物理学家对巨浪产生了兴趣。意大利工程师乔治·比多内（Giorgio Bidone）将水跃视为一种抬升灌溉用水的方式。
继比多内之后，法国水利学家让-巴蒂斯特·贝朗日（Jean-Baptiste Bélanger）成了第一个对撞击点进行理论分析的人。1846年，贝朗日发表了一个方程。这个方程建立在流体流动过程中的动量守恒和水跃中不同部分的流量守恒之上。通过这种方式，他提出了第一个“冲击条件”，调和了上游和下游的数学描述。在同一时期，法国水利学家亨利·达西（Henry Darcy）和亨利·巴赞（Henry Bazin）利用在水渠进行的实验，证实了冲击理论。如今这一理论仍然是水跃建模的根基，无论水跃发生在河流还是水槽中。
英国物理学家瑞利男爵（Lord Rayleigh）首先将运河中的水跃现象和水槽中圆形的水跃联系起来。1914年，他重复了贝朗日提出的冲击条件，并将其应用于圆形水跃。在这种情况下，冲击条件再次得到了实验验证。但是在某些情况下，理论预测的水跃半径却比实际观察到的大了数十倍。
惯性流与层流
物理学家发现，必须考虑水跃内部的流体黏度，才能更准确地描述流体的运动，计算冲击半径。摩擦力越大，流体的运动就越困难，也就是说黏度更大。当我们分别在蜂蜜、油和水中搅动勺子，就能感受到这种差异。油的黏度大约是水的100倍，而蜂蜜的黏度大约是油的100倍。
在流体运动中，我们可以观察到惯性流，这时流体黏度可忽略，机械能守恒；另一种情况是层流，这其中黏度的作用要大得多。在后一种情况下，系统机械能中有不可忽略的一部分转化为热能。回到流体中搅动勺子那个案例，当你在蜂蜜中搅动勺子的时候，仅有勺子周围的流体会流动，你注入系统的能量几乎立即以热量的形式耗散。这就是粘稠流体的流动。
而当你在水中搅动勺子的时候，就得到了惯性流。最终整个流体都会运动起来，直到你投入的能量在边界层处耗散。
对于在固定固体平面上（如水流周围的水槽表面）的惯性流，与平面表面接触的流体粒子速度为零。随着与平面距离的增加，流体粒子的速度急速上升。在平面上方很薄的液面处，流体粒子的速度与流体其他部分的速度基本相同，这里被定义为边界层。
边界层的存在完善了水跃模型，因为在水流刚刚落下的地方，流体基本是惯性流动；随后边界层逐渐形成，最终随着我们远离水流撞击点，边界层完全延伸开来，形成一个较薄的水层。而在边界层下方，流体速度很小，黏度占据主导地位，这一区域中便会出现层流。而由于这层流体中的摩擦力较大，水流越来越缓慢，使得水层最终变得更厚，吞没了边界层。由于此时黏度可以忽略，边界层消失，流体不断变薄，因为它会保持速度不变并朝各个方向径向展开。
因此，当流体黏度较大的时候，我们会观察到较小的水跃半径。瑞利男爵的模型并未考虑这种效应。1948年，日本物理学家谷一郎（Itiro Tani）首次对这种黏稠的边界层进行了建模。
接下来，英国物理学家埃里克·沃森（Eric Watson）在1964年提出了水跃研究中最完善的理论之一。这一模型的独创性在于，它将内部区域（水墙之前）划分成许多个不同部分（水流撞击部分、边界层发展部分，以及边界层全面入侵液面的区域）。他的方程很好地描述了水膜的厚度随注入水流的距离变化的函数关系。
但这一理论仍然不完善，它仅仅描述了水跃内部的情形，而没有提供水跃外部的信息。为了计算半径，我们必须将满足“贝朗日条件”的冲击和模型联系起来，还要知道在紧邻水跃发生处的液面高度。但是由于测量这一高度比直接测量水跃半径更加困难，这个模型在预测方面的作用很小。
寻找完善的模型
1993年，丹麦科技大学的托马斯·玻尔（Tomas Bohr）和同事们终于对水跃外部区域进行了建模。玻尔的父亲和祖父都是诺贝尔物理学奖得主。玻尔等人借助“贝朗日条件”将水跃的内部和外部区域联系起来，用同一个方程（称为“润滑方程”）对这两个区域进行建模，完善地描述了问题。借助这些方程的一个数值解，他们得到了第一个理论定律，能够根据系统参数（流体的流量、黏度和密度等）预测水跃半径。
因此，科学家花了超过500年，才发展出第一个令人满意的水跃模型。这个进展可以说是巨大的，尽管我们仅仅“解决”了流体垂直落到平面上然后自由流动这一简单的情况。我们还无法研究流体倾斜流下，或流到像水槽那样具有边沿的平面上的情况。实际上，我们才刚刚开始理解这一现象，还未触及问题的复杂之处……
尤其是，我们还没有在物理学层面理解水墙为什么会产生。托马斯·玻尔的流体力学模型使用描述内部和外部区域特征的假设预测水跃的位置，证明在某个特定的半径（即我们观察到水跃的地方），这两个区域的方程的数学解就不再是实数。换言之，模型预测内部区域到外部区域之间的转变必然发生，但是它完全没有解释转变的性质。如果这两个区域之间用一条缓和的斜坡连接，与模型也是兼容的。
图片依次为流速较快且液面较薄的内部区域、水跃、流速较慢且液面较高的外部区域。
模型在描述上的限制和解释能力的缺失，已经体现在文章开头提到的波动力学方法对重力波向水流高处传播的描述中：在这一情况下，我们假设波在水墙上传播的过程中发生了状态转变，但这堵墙的形状并不是固定的，尤其是高度。贝朗日条件描述了这种高度的改变，但它的作用仅限于描述，无法进行预测。
一些科学家认为，液体墙是因为边界层分离而构成的。还有人认为，我们可以用不稳定性为水墙建模：在内部区域，超过了某个特定半径之后，重力不再可忽略。这时水膜逐渐增厚，流体速度减缓，表面轻微向上倾斜。重力对这一表面施加了外部限制，约束了流动。流速继续减缓，表面继续向上延伸，重力的影响也在不断增加，以此类推。结果就是在这种不稳定机制的作用下，我们得到了一道几乎竖直的坡，也就是水跃。
形态各异的水跃
2014年，我和位于巴黎的物质与复杂系统实验室的吕克·勒邦（Luc Lebon）和劳伦·利玛（Laurent Limat）一同开展实验，为水跃的理论解释提供了重要线索。通过精确测量紧邻水跃发生处的液面高度，我们证明了对所有的水跃，这一区域的弗劳德数（惯性和重力影响的比值）是恒定的。
对于这个普遍性质，目前还不存在理论解释，但它应该和前面提过的重力不稳定机制是相容的。这并不令人惊讶，因为水跃正发生在重力作用开始变得不可忽略的地方。弗劳德数描述重力和惯性的局域影响的比值，对于所有的系统，它在这个点上的数值完全相同，与系统性质无关。并且，由于冲击条件，我们会在水跃刚刚发生的地方得到一个“通用”的弗劳德数。
表面张力的作用
此外，结合对水跃外部区域的精细建模，我们得以精确计算水跃的位置。最终，我们不需要对内部区域的水流进行任何假设，就得到了这个结果。多个理论物理学团队正在研究弗劳德数是否为恒定的，并尝试在方程中重现这一实验观察结果。因此，我们可以期待在未来几年中看到关于这个课题的重大突破。
如果说黏度发挥了重要作用，那么另一个在这个尺度上发挥重要作用的物理量——表面张力呢？在流体的表面，例如水和空气之间的界面，表层水分子之间的结合力和内部的情况不同，它倾向于最大程度地减小界面的面积。举例来说，这解释了雨滴为什么接近球形。
在大多数现有的水跃模型中，表面张力完全缺席。然而到了2018年，剑桥大学的拉杰什·巴加特（Rajesh Bhagat）和保尔·林登（Paul Linden）提出了一个新的模型，表明表面张力在水跃的形成过程中发挥了关键作用。这个结果看起来很好地调和了理论和实验。但在2019年，我和玻尔的团队一同提出，他们的模型可能建立在一个不可靠的假设之上。表面张力究竟扮演了怎样的角色？看起来我们离解决这个问题还很遥远。
最后这个转折正体现了这样一个事实：这场持久的激烈争论，只为解答这个看起来如此平凡又简单的问题。你洗碗的时候也可以看一看，你家水槽里的那个小圆圈到底有多大？
从水槽到中子星
尽管这个现象并不起眼，它却让我们得以深入理解那些和水跃毫无关系，尺度也要大上许多的事物。在天体物理学领域，我们将水跃现象应用到尺度要大上百万倍的现象中。2012年，法国原子能和替代能源委员（CEA）萨克雷研究中心的提耶利·弗格利佐（Thierry Foglizzo）和同事们提出，可以借助对水跃现象的模拟，来研究超新星的动态。
超新星指恒星生命结束时内核发生的爆炸。这一过程将形成中子星或黑洞，而星体外层被剧烈喷射到星际空间中。针对该天体物理现象的数值模拟证明，恒星爆炸过程会导致不对称，这是由爆炸的气体和在超新星爆发前的冲击波之间的不平衡产生的。为了在实验室尺度模拟这个现象，弗格利佐和团队提出了一个天才的设想——“反向环形水跃”。
在具备双曲面表面的圆形水槽里，液体从边沿注入，形成薄薄的一层，流向中间的排液孔。这时，水跃就形成了。朝着中央排液管流动的液体形成了一个受重力支配的区域。同时，双曲线形状模拟了恒星引力势能的分布。水跃就如同恒星中的冲击波，流动的液体对应爆炸的气体。尽管水跃一开始是对称的，但它会产生不对称性，最终使得自身整体朝一个方向转动，而内部区域则朝另一个方向转动。这些研究工作证实了此前在数值模拟中观察到的不稳定性。
流体力学方程和引力定律之间存在强大的数学联系。1981年，加拿大不列颠哥伦比亚大学的威廉·安鲁（William Unruh）提出假设：流体力学系统可以模拟再现黑洞的某些特性，即我们所说的声学黑洞。
更准确地说，水跃或许可以作为“白洞”的模型，即时间箭头相反的黑洞。实际上，正如没有任何物质能够进入白洞一样，重力波也无法在水跃内部区域传播。一些研究者正在研究如何用水跃进行这种模拟，一个重要目的是为了检验霍金辐射的形成。
水跃已经成为研究那些几乎无法触及的现象（例如超新星和黑洞）的工具。但其他的应用方向也正在研究之中，尤其是模拟混沌条件下的动态系统。对于一个诞生于简单的水槽中的现象，这还真不错！
