今年春晚魔术师刘谦表演了
一个与纸牌相关的魔术
其精妙的设计带给观众极高的参与感
许多人纷纷拿出家中的扑克牌
跟着刘谦一起“见证奇迹”
全国无数人都成功地将
手中的扑克牌对上了
然而，眼尖的观众发现
主持人尼格买提·热合曼
失败了......
魔术表演结束后
春晚主持人撒贝宁直接戳穿
让全国网友都知道了
“小尼的扑克牌没对上！”
相关话题瞬间爆上热搜
这个魔术“奇迹”的背后
有着怎样的奥秘？
当春晚还在进行中
北京大学数学科学学院
2021级本科生刘明昊、李新宇、殷子萦
2022级本科生王秭如、黄天铭、王美潭
2023级本科生潘浩翔、王伟圣
便在北京大学数学科学学院学生会的
微信公众号上推出一篇科普文章
从数学的角度
带大家感受这一魔术的魅力
该文章被新华每日电讯微信公众号截图报道
△参与文章编辑的同学在新华每日电讯报道后留言
接下来，让我们一起
深入学习学习这个魔术吧
魔 术 步 骤
首先，准备4张扑克牌
跟随魔术步骤
来一起“见证奇迹”
步骤 1
将准备好的4张扑克牌
平均撕成两份
并叠在一起
步骤 2
将牌堆顶数量为
【名字字数】的牌
移至牌堆底
步骤 3
将前三张牌放在牌堆中间
并取出牌堆顶的牌
放置在一旁
步骤 4
取出牌堆顶的若干张牌
插入牌堆中间
此处选择的牌数为
南方人取1张，北方人取2张
若不确定是南方人还是北方人取3张
步骤 5
男生扔掉牌堆顶1张
女生扔掉牌堆顶2张
步骤 6
执行“见证奇迹的时刻”循环
每说一个字
就取出牌堆顶一张牌放置在牌堆底
步骤 7
执行如下操作
从牌堆顶开始
每次先将牌堆顶的一张牌放在牌堆底
再扔掉牌堆顶的一张牌
重复以上操作直到只剩一张牌
检查此牌和放置在一旁的牌是否吻合
若吻合，则魔术成功
魔 术 揭 秘
怎么样，你的扑克牌对上了吗？
下面，小北将按照步骤顺序
一步步为你揭秘背后的逻辑
步骤一
我们令选择的四张扑克牌分别为1234，将他们分别撕开后，产生了标号分别为1234的两套（半张）扑克牌，叠在一起后形成了从上至下标号分别为12341234的扑克牌堆。
步骤二
此时我们可以注意到，无论我们将牌堆顶的多少张牌移到堆底，得到的扑克牌堆编号（从上至下）都只会有以下几种结果：
12341234（名字字数被四整除）
23412341（名字字数模四余一）
34123412（名字字数模四余二）
41234123（名字字数模四余三）
观察以上可能的牌堆，我们可以发现产生的牌堆都具有以下性质：
1. 前四张牌和后四张牌的顺序完全一样
2. 前四张牌和后四张牌分别是1234的一个轮换
步骤三
从这一步开始，我们只考虑当前牌堆中排在第四及第八的两张牌，记为X，其他牌记为0。那么根据上一步的讨论，可以得到当前的牌堆形如：
000X000X
将前三张放在牌堆中间后，无论这三张放在什么位置，最终产生的牌堆都将是：
X000000X
于是乎，被选择的用于配对的牌就将是X，而另一张与之配对的牌（称为目标牌）将位于牌堆底。
步骤四
在上一步之后，牌堆的编号为000000X，于是，无论本轮中选择牌堆顶多少张牌插入牌堆中，都不会影响目标牌的位置，仍然处于牌堆底部。
步骤五
此时男生的牌堆为：00000X
女生的牌堆为：0000X
步骤六
通过尝试可知，在经过步骤六后将得到如下的牌堆：
男生：0000X0
女生：00X00
步骤七
通过上述揭秘
相信大家不难看出
这个魔术的背后
其实是一个数学上的问题
它被称为约瑟夫问题
约瑟夫问题
设有编号为1，2，......，n的n个人围成一个圈，从第1个人开始报数，报到m时停止报数，报m的人出圈。再从他的下一个人起重新报数，报到m时停止报数，报m的出圈......按照这个规则进行下来，直到所有人全部出圈为止。求最后留下来的人编号。
为了使问题简化，我们考虑n个人编号为0 ~ n-1的情况，每 m 个人退出一个人，我们称之为（n, m）问题。第一个人（即编号为在模n下同余m的人）退出之后，对剩下的 n-1 个人重新编号，则新问题的k号在原问题中对应 k+m 号。因此（n, m）问题的解 J （n, m） = J （n-1, m）+m 且 J （1, m） = 1（模n意义下）。据此，通过递推的方法可以得到 J （n, m）。在实践中，约瑟夫问题一般用代码进行求解。刘谦的魔术中使用的便是 m=2 的特殊情况。
惊 喜 彩 蛋
主持人尼格买提·热合曼为什么失败
一起来看看背后的原因
根据上面的证明过程，我们不难发现：在步骤3与步骤4中，如果操作正确，每位主持人手中最底部的一张牌没有变化，而这恰好是步骤7后留下的一张牌。
然而，在进行步骤4时，注意尼格买提的手上动作：
镜头捕捉到插入过程中，原本位于底部的牌面花纹被另一张牌覆盖，也就是说，尼格买提并未按要求将两张牌放入中间位置，从而导致他最终匹配的失败。
春晚的魔术表演
不仅展示了魔术的神秘
也激发了我们对数学智慧的思考
希望大家尽情享受
魔术和数学带给大家的快乐
除此之外
生活中仍不乏有许多与数学相关的趣事
栏目主编：秦红 文字编辑：卢晓川 题图来源：图虫 图片编辑：曹立媛
